Question

设等差数列{a_n}前n项和为S_n，若a₃+a₄=15，a₂•a₅=54，公差d＜0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）求的最大值及相应的n的值．

Answer

（I）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a2，a5，代入等差数列的通项公式可求an．
（II）利用等差数列求和公式先求出，然后利用均值不等式求出最值，注意变量取正整数．
【解析】
（Ⅰ）∵等差数列{an}，∴a2+a5=a3+a4
∴，d＜0
解得，
∴，
∴an=11-n
（Ⅱ）∵a1=10，an=11-n，
∴sn=…（8分）
∴=≤-+=，
当且仅当n=即n=4时取等号，∴当n=4时，所求最大值为．