Question

已知函数f（x）=|x-m|，不等式f（x）≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}
（Ⅰ）实数m值；
（Ⅱ）若a²+b²+c²=1且f（2x-1）对任意实数a，b，恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（Ⅰ）不等式f（x）≤3等价于m-3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}，建立方程组，即可求实数m的值；
（II）首先根据柯西不等式，得出a+b+c的最小值，考虑f（2x-1）恒成立等价于|2x-3|+|2x-1|＞2=|2x-3-（2x-1）|，构造出不等式（2x-2）（2x-1）＞0，即可得到答案．
【解析】
（I）|x-m|≤3⇔-3≤x-m≤3⇔m-3≤x≤m+3，由题意得解得m=2；…（4分）
（II）∵根据柯西不等式，有（a2+b2+c2）（12+12+2）≥（a+b+c）2，
∴-2≤a+b+c≤2，
∴当a=b=时，a+b+c的最大值为2．…（8分）
又∵f（x）=|x-2|，
∴f（2x-1）恒成立等价于|2x-3|+|2x-1|＞2=|2x-3-（2x-1）|，
从而2x-3与2x-1同号，即（2x-3）（2x-1）＞0，
∴x的取值范围是x＞或x＜．…（12分）