Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠4），a_n+1=2S_n+4ⁿ（n∈N^*）
（Ⅰ）设b，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*），求实数a取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题意得：Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，化简利用等比数列的定义，可证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）确定Sn，再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若an+1≥an（n∈N*）成立，作差，构建函数，利用函数的单调性，即可求实数a取值范围．
（Ⅰ）证明：依题意得：Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，即Sn+1=3Sn+4n，
由此得=3（）即bn+1=3bn，…（2分）
∴数列{bn}是公比为3的等比数列．         …（3分）
（Ⅱ）【解析】
∵，
∴，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×4n-1+2（a-4）•3n-2，…（6分）
n=1时，a1=1
∴…（7分）
（Ⅲ）【解析】
∵an+1=3×4n+2（a-4）•3n-1，
∴an+1-an=4•3n-2[]≥0
设f（n）=，则f（n）≥0，…（9分）
∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分）
∴当n≥2时an+1-an≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分）
又a2≥a1等价于2a1+4≥a1，即a≥-4．…（13分）
综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）