Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，
（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与共线可推知（x1+x2）=6（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．
【解析】
（Ⅰ）圆的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0，
整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，
解得，即k的取值范围为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
由方程①，②
又y1+y2=k（x1+x2）+4． ③
而．
所以与共线等价于（x1+x2）=-3（y1+y2），
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．