Question

设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．

Answer

（Ⅰ）由与共线，可得三角等式，运用三角恒等变换进行化简，即可解得C值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，再由余弦定理可得c2=a2+b2-ab②，由①②消掉c可得b（b-a）=0，从而得a=b，于是得到结论；
【解析】
（Ⅰ）∵与共线，
∴=cos（sin+cos）=sinC+（1+cosC）=sin（C+）+，
∴sin（C+）=1，∴C=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，
根据余弦定理可得：c2=a2+b2-ab②，
联立①②解得：b（b-a）=0，
又b＞0，∴b=a，，所以△ABC为等边三角形．