Question

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}，且f（x）在区间[-1，1]上的最小值是4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=x+5-f（x），若对任意的，均成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由f（x）≥0解集为{x|-2≤x≤3}，设出函数解析式，利用f（x）在区间[-1，1]上的最小值是4，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=x+5+x2-x-6=x2-1，恒成立，等价于对恒成立，求出右边的最小值，可得关于m的不等式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）≥0解集为{x|-2≤x≤3}，可设f（x）=a（x+2）（x-3）=a（x2-x-6），且a＜0
对称轴，开口向下，f（x）min=f（-1）=-4a=4，解得a=-1，f（x）=-x2+x+6；…（5分）
（Ⅱ）g（x）=x+5+x2-x-6=x2-1，恒成立
即对恒成立
化简，即对恒成立…（8分）
令，记，则y=-3t2-2t+1，
二次函数开口向下，对称轴为，当时，
故…（10分）
所以（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得或…（12分）