Question

已知函数f（x）=log₂（x+m），且f（0），f（2），f（6）成等差数列．
（1）求f（30）的值；
（2）若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）由等差数列的定义可建立关于m的方程，可解m的值，代入可得答案；
（2）由对数的运算性质可得f（a）+f（c）与2f（b）的值，下面用作差法及基本不等式比较真数的大小即可．
【解析】
（1）由f（0），f（2），f（6）成差数列，
得2log2（2+m）=log2m+log2（6+m），即（m+2）2=m（m+6）（m＞0）
解得m=2…（4分）
∴f（30）=log2（30+2）=5…（6分）
（2）由（1）可知：，
∵b2=ac，∴（a+2）（c+2）-（b+2）2=ac+2（a+c）+4-b2-4b-4=2（a+c）-4b…（9分）
∴，
∴2（a+c）-4b＞0
∴，
即f（a）+f（c）＞2f（b）…（14分）