Question

已知函数f（x）=x²+ax，x∈R．
（1）若f（x+1）=f（-x），求a的值；
（2）当a=2时，求g（x）=xf（x）的单调区间．

Answer

（1）先由条件求得f（x+1）和f（-x）的解析式，再根据f（x+1）=f（-x），求得a的值．
（2）当a=2时，先求出 g（x）的解析式，再求出它的导数，根据导数的符号求出函数g（x）的单调区间．
【解析】
（1）∵已知函数f（x）=x2+ax，故 f（x+1）=（x+1）2+a（x+1）=x2+（2+a）x+1+a，（1分）
故f（-x）=）=x2-ax
再由f（x+1）=f（-x），可得  x2+（2+a）x+1+a=x2-ax，（ 2分）
所以有：1+a=0，2+a=-a，解得a=-1．（3分）
（2）当a=2时，∵g（x）=xf（x）=x（x2+2x）=x3+2x2，（5分）
∴．（7分）
当时，g'（x）＞0，当时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0，（9分）
所以g（x）=xf（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．（10分）