Question

已知O是△ABC的外心，且，，P是线段AB上任一点（不含端点），实数λ，μ满足，则的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据向量的加法法则和三角形外心的性质，证出四边形OACB是由两个正三角形拼成的菱形，由算出||=2且菱形的各边长都等于2．以O为原点，CO所在直线为x轴建立直角坐标系，可得A、B、C各点的坐标，设P（-1，y）可得=（1，y），结合题中向量等式证出正数λ，μ满足=1，由此结合基本不等式求最值，即可算出的最小值．
【解析】
∵O是△ABC的外心，且，
∴以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，且对角线OC等于边长
因此，在菱形OACB中，△ACO与△BCO都是等边三角形
∵，∴||=||=||=||=||=2
以O为原点，CO所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示
可得A（-1，），B（-1，-），C（-2，0）
∴=（1，），可得=（1，）=（，），
同理得=（1，-）=（，-）
因点P在直线AB：x=-1上，设P（-1，y），（-），可得=（1，y）
∵=（，）+（，-）=（，（λ-μ））
∴=1，可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）
因此=（）=1+（）≥1+×2=2
当且仅当λ=μ=1时，的最小值是2
故选：C