Question

已知f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值．

Answer

（Ⅰ）表示出f（x），再解二次不等式即可；
（Ⅱ）由f（1）=f（3）=0，可得f（x）=a（x-1）（x-3），分离出参数a后，f（x）≤1可化为在x∈（1，3）恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得a的范围，进而得a的最小值；
【解析】
（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，f（x）=-x2+2x+4，
则f（x）≤1即x2-2x-3≥0，
∴（x-3）（x+1）≥0，解得x≤-1，或x≥3．
所以不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；
（Ⅱ）因为f（1）=f（3）=0，
所以f（x）=a（x-1）（x-3），f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，即在x∈（1，3）恒成立，
而，当且仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．     
∴，
所以-a≤1，即a≥-1．
所以a的最小值是-1；
（Ⅱ）或【解析】
f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立．
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1=ax2-4ax+3a-1=a（x-2）2-a-1．
①当a=0时，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）上恒成立，符合；     
②当a＞0时，易知在x∈（1，3）上恒成立，符合；             
③当a＜0时，则-a-1≤0，所以-1≤a＜0．               
综上所述，a≥-1
所以a的最小值是-1．