Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设，若数列{c_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得数列{an}的首项与公差，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）an=n+1，可求得bn=2+-，累加即可求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）依题意，应有cn+1-cn=2n（--λ）＜0对n∈N*都成立⇔--λ＜0恒成立⇔λ＞，设f（n）=-，可求得f（n+1）-f（n）=，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）max，问题得到解决．
【解析】
（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{an}的公差为d，
则=a1（a1+6d），
a1d=2d2，∵d≠0
∴a1=2d．                                                  …（1分）
又∵a2=3，
∴a1+d=3a1=2，d=1…（2分）
∴an=n+1．                                                 …（3分）
（Ⅱ）∵bn=+=+=2+-．            …（4分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=（2+-）+（2+-）+…+（2+-）=2n+．                          …（6分）
（ III）cn=2n（-λ）=2n（-λ），使数列{cn}是单调递减数列，
则cn+1-cn=2n（--λ）＜0对n∈N*都成立    …（7分）
即--λ＜0⇒λ＞…（8分）
设f（n）=-，
f（n+1）-f（n）=--+
=+-
=2++1+-3-
=…（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）max=，
∴=
所以λ＞．               …（10分）