Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）对∀x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导数，利用条件判断函数导数的符号，进而判断函数的单调性．
（2）求出函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值，然后利用不等式恒成立的条件进行求参数a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna． …（2分）
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax-1＞0，所以f′（x）＞0，…（5分）
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）由（1）可知，当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．…（7分）
所以，f（x）在区间[-1，0]上单调递减，在区间[0，1]上单调递增．
所以fmin=f（0）=1，fmax=max{f（-1），f（1）}．…（9分）
f（-1）=+1+lna，f（1）=a+1-lna，
f（1）-f（-1）=a--2lna，
记g（x）=x--2lnx，则g′（x）=1+，（当x=1时取到等号），所以g（x）=x--2lnx递增，
故f（1）-f（-1）=a--2lna＞0    …（11分）
所以f（1）＞f（-1），于是fmax=f（1）=a+1-lna．（12分）
故对∀x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|max=|f（1）-f（0）|=a-lna，所以a-lna≤e-1，所以1＜a≤e．…（14分）