Question

已知x、y都是正数，则满足x+2y+xy=30，求xy的最大值，并求出此时x、y的值．

Answer

利用基本不等式可得x+2y≥2•，令=t，则2t+t2≤30，解出不等式可得t的最大值，即xy的最大值，结合不等式取等号的条件可求得x，y值．
【解析】
∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2•，当且仅当x=2y时取到等号；
又x+2y+xy=30，令=t，则2t+t2≤30，
∵t＞0，∴0＜t≤3，
∴0＜xy≤18．
当xy=18时，又x=2y．
∴x=6，y=3．
因此当x=6，y=3时，xy取最大值18．