Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜．
（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f （x）＜x₁；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x对称，证明x＜．

Answer

（1）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差
x1-f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x对称，利用放缩法推出x＜；
证明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x1）（x-x2）．
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，
即x＜f（x）．
x1-f（x）
=x1-[x+F（x）]
=x1-x+a（x1-x）（x-x2）
=（x1-x）[1+a（x-x2）]
因为
所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．
得x1-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x1．
（Ⅱ）依题意知
因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根．
∴，
因为ax2＜1，所以．