Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项；
（3）记，求数列{b_n}的前n项S_n，并证明．

Answer

（1）把点（an，an+1）代入函数式，整理得an+1+1=（an+1）2，两边取对数整理得，进而判断{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+an）}的通项公式，进而求的an代入到Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）求的Tn．
（3）把（2）求的an代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证．
【解析】
（Ⅰ）由已知an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2
∵a1=2
∴an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），
即
∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+an）=2n-1•lg（1+a1）=
∴∴
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）===
（Ⅲ）∵an+1=an2+2an
∴an+1=an（an+2）
∴
∴
又
∴
∴Sn=b1+b2++bn==
∵
∴
又
∴．