Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其前n项和S_n中，S₃、S₄、S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）求满足的最大正整数n的值．

Answer

（1）依题意，等比数列{an}的公比q≠1，由S3、S4、S2成等差数列可列式求得q，从而可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知，an=，从而可求得bn=2n-1，数列{bn}为等差数列，利用等差数列的求和公式即可求得数列{bn}的前n项和为Tn；
（3））可求得（1-）（1-）…（1-）=（1-）（1-）…（1-）=，由＞，可求得最大正整数n的值．
【解析】
（1）若q=1，则S3=3，S4=4，S2=2，显然S3，S4，S2不构成等差数列，
∴q≠1．
故由S3，S4，S2成等差数列得：2•=+…（2分）
∴2q4=q3+q2⇒2q2-q-1=0⇒（2q+1）（q-1）=0，
∵q≠1，
∴q=-．…（4分）
∴an=1×=．…（5分）
（2）∵bn=2|an|+1=2||+1=2+1=2（n-1）+1=2n-1…（7分）
∴Tn═1+3+…+（2n-1）==n2．…（9分）
（3）（1-）（1-）…（1-）
=（1-）（1-）…（1-）
=•…=…（11分）
=．…（13分）
令＞，解得：n＜154．
故满足条件的最大正整数n的值为154．…（14分）