Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足以x=2，x=7为对称轴，且在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，试求方程f（x）=0在[-2012，2012]根的个数为（ ）
A．803个
B．804个
C．805个
D．806个

Answer

由函数f（x）在（-∞，+∞）上满足以x=2，x=7为对称轴，可以分析函数是以10为周期的周期函数，进而根据在[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，分析出一个周期中函数有两个零点，进而分析出函数在[-2012，2012]上零点的个数，最后根据在[-2012，2012]根的个数为函数f（x）零点个数得到答案．
【解析】
f（x）的对称轴为x=2和x=7，
那么有：f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）
推得f（4-x）=f（14-x）=f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）=f（14-x）=f（x）
且闭区间[0，7]上只有f（1）=f（3）=0
得f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0   
即在[-10，0]和[0，10]函数各有两个解
则方程f（x）=0在闭区间[0，2012]上的根为2×201+1=403个，
方程f（x）=0在闭区间[-2012，0]上的根为2×201=402个
得方程f（x）=0在闭区间[-2012，2012]上的根的个数为805个
故选C