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高中数学试题
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函数f(x)定义域为C,若满足①f(x)在C内是单调函数;②存在[m,n]⊆D使...
函数f(x)定义域为C,若满足①f(x)在C内是单调函数;②存在[m,n]⊆D使f(x)在[m,n]上的值域为[
,
],那么就称y=f(x)为“希望函数”,若函数f(x)=log
a
(a
x
+t)(a>0,a≠1)是“希望函数”,则t取值范围为
.
法一:由题意可知f(x)在D内是单调增函数,才为“希望函数”,从而可构造函数f(x)=x,转化为=loga(ax+t)有两异正根,可求t的范围可求. 法二:根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【解析】 因为函数f(x)=loga(ax+t)在其定义域内为增函数,则若函数y=f(x)为“希望函数”, 方程f(x)=x必有两个不同实数根, ∵loga(ax+t)=⇔ax+t=⇔ax-+t=0, 令m= ∴方程m2-m+t=0有两个不同的正数根, ∴ ∴t∈(0,) 故答案为:(0,) 法二:依题意,函数g(x)=loga(ax+t)(a>0,a≠1)在定义域上为单调递增函数,且t≥0, 而t=0时,g(x)=x不满足条件②, ∴t>0.设存在[m,n],使得g(x)在[m,n]上的值域为[m,n], ∴ 即 ∴m,n是方程(ax)2-ax+t=0的两个不等正实根, ∴△=1-4t>0,且t>0 ∴0<t< 故答案为:(0,)
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考点分析:
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