Question

已知函数f（x）=．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围．

Answer

（1）若f（x）的定义域为R，则（1-a2）x2+3（1-a）x+6≥0恒成立，分1-a2=0和1-a2≠0，结合一次函数和二次函数的图象和性质分别求出满足条件的a的取值范围，综合讨论结果可得答案．
（2）若若f（x）的值域为[0，+∞），则函数 g（x）=（1-a2）x2+3（1-a）x+6取一切非负实数，结合一次函数和二次函数的图象和性质分类讨论后，综合讨论结果可得答案．
【解析】
（1）①若1-a2=0，则a=±1．
（Ⅰ）当a=1时，，定义域为R，符合要求．
（Ⅱ）当a=-1时，，定义域不为R．
②若1-a2≠0，g（x）=（1-a2）x2+3（1-a）x+6为二次函数，
∵f（x）定义域为R，
∴g（x）≥0对任意x∈R恒成立．
∴．
综合①②得，实数a的取值范围是
（2）∵f（x）的值域为[0，+∞），
∴函数 g（x）=（1-a2）x2+3（1-a）x+6取一切非负实数．
∴．
当a=-1时，的值域是[0，+∞），符合题意．
故所求实数a的取值范围是．