Question

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．

Answer

（1）先求出函数的定义域，根据条件计算f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义进行判定即可；
（2）先求出函数的周期性，先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，再根据单调性的定义进行证明，然后分别求出端点的函数值即可．
【解析】
（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，
又f（-x）=f[（a-x）-a]
=
=，
对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数
易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．
（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]
==0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]
==-1．
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，
∴f（x-2a）=＞0，∴f（x）＜0
设2a＜x1＜x2＜3a，
则0＜x2-x1＜a，∴f（x1）＜0f（x2）＜0，f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=＞0，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在[2a，3a]上单调递减
∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1