Question

证明二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．

Answer

一方面证明充分性，先用反证法证明b2-4ac＞0，从而得出故二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有两个不等的零点，利用零点与方程的关系及已知条件即可证明x1＜m＜x2．另一方面证明必要性，即证明二次函数f（x）的两个零点在点（m，0）的两侧的⇒af（m）＜0．
【解析】
充分性：设△=b2-4ac≤0则af（x）=a2x2+abx+ac=a2（x+）2-+ac=a2（x+）2-（b2-4ac）≥0，
所以af（m）≥0，这与af（m）＜0矛盾，即b2-4ac＞0．
故二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有两个不等的零点，设为x1，x2，且x1＜x2，从而f（x）=a（x-x1）（x-x2），
af（m）=a2（m-x1）（m-x2）＜0，所以x1＜m＜x2．
必要性：设x1，x2是方程的两个零点，且x＜x2，由题意知x1＜m＜x2，
因为f（x）=a（x-x1）（x-x2），且x1＜m＜x2．
∴af（m）=a2（m-x1）（m-x2）＜0，即af（m）＜0．
综上所述，二次函数f（x）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．