Question

已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（）=0．求不等式f（log_ax）＞0（a＞0，且a≠1）的解集．

Answer

由偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出f（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，进而根据f（-）=f（）=0．可将不等式f（logax）＞0化为对数不等式，分类讨论并根据对数函数的单调性可得答案．
【解析】
因为f（）=0．
所以不等式f（logax）＞0 等价于f（logax）＞f（）
因为偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以（-∞，0）上是减函数
（1）当logax≥0时，logax＞
若0＜a＜1，解得0＜x＜；
若a＞1，解得x＞；
（2）当logax＜0时，logax＜-；
若0＜a＜1，解得x＞；
若a＞1，解得0＜x＜；
即：0＜a＜1时不等的解集（0，）∪（，+∞）；
a＞1时不等的解集（0，）∪（，+∞）；