Question

设数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9；数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer

（I）由题意可得数列{an}的公差，进而得通项，由Sn+bn=2可得Sn=2-bn，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；
（II）由（I）可知cn==（2n-1）•2n-1，由错位相减法可求和．
【解析】
（I）由题意可得数列{an}的公差d=（a5-a3）=2，
故a1=a3-2d=1，故an=a1+2（n-1）=2n-1，
由Sn+bn=2可得Sn=2-bn，当n=1时，S1=2-b1=b1，∴b1=1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2-bn-（2-bn-1），∴，
∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴bn=1•=；
（II）由（I）可知cn==（2n-1）•2n-1，
∴Tn=1•2+3•21+5•22+…+（2n-3）•2n-2+（2n-1）•2n-1，
故2Tn=1•21+3•22+5•23+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n，
两式相减可得-Tn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）•2n
=1+2-（2n-1）•2n
=1-4+（3-2n）•2n，
∴Tn=3+（2n-3）•2n