Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．
（III）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
【解析】
（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2-lnx，
∴f′（x）=2x-，∴g′（1）=1，又f（1）=1
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．
（II） 在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x2+ax-1，有 得 ，
得
（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
②当 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增
∴，a=e2，满足条件．
③当 时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．