Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）猜想数列{b_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）依题意，可求得bn+1=，结合a1=，an+bn=1即可求得b1，b2，b3，b4；
（2）由（1）可猜想bn=，用数学归纳法证明即可．可分二步走，①当n=1时，易证命题成立；②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，去推证当n=k+1时，命题也成立即可．
【解析】
（1）bn+1====，
∵a1=，b1=，
∴b2=，b3=，b4=，…4分
（2）猜想bn=，下面用数学归纳法证明…5分
①当n=1时，b1==，命题成立，…6分
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即bk=；
那么当n=k+1时，bk+1====；
∴当n=k+1时命题也成立；
由①②知，对任意正整数命题都成立…8分