Question

若（ax+2b）⁶的展开式中x³与x⁴的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0
（1）当a=1时，求（ax+2b）⁶的展开式中二项式系数最大的项；
（2）令，求F（a，b）的最小值．

Answer

（1）由二项式定理可得（ax+2b）6的展开式中含x3与含x4的项的系数，由已知可得得a=2b，把a=1代入，由二项式系数的特点可得答案；
（2）可得=，构造函数F（x）=，x＞0，利用导数可得函数的最值，进而可得答案．
【解析】
（1）（ax+2b）6的展开式中含x3的项为，
故其系数为=160a3b3，
含x4的项为，系数为4=60a4b2，
故可得=，解得a=2b，
所以当a=1时，（ax+2b）6=（x+1）6展开式中二项式系数最大的项为：
T4==20x3
（2）由a=2b＞0，=，
构造函数F（x）=，x＞0
求导数可得F′（x）=x-，
令F′（x）＞0，可解得x＞2，令F′（x）＜0，可解得0＜x＜2，
故函数F（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，
故可得F（a，b）的最小值为F（2）=6