Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线和椭圆有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

Answer

根据双曲线的定义是到两定点的距离之差的绝对值为常数（小于两定点之间距离）的点的轨迹．焦点在x轴的椭圆、双曲线的标准方程分别是+=1，-=1，半焦距C，分别是c2=a2+b2，c2=a2-b2，离心率e 范围分别是0＜e＜1，e＞1．
【解析】
根据双曲线的定义，有绝对值，且k的范围是k＜|AB|，∴①×；
∵=（+），∴P为弦AB的中点，不妨在单位圆x2+y2=1中，定点A（1，0），动点B（x1，y1），设P（x，y），用代入法求得P的轨迹方程是+y2=，
∴点P的轨迹为圆，∴②×；
∵2x2-5x+2=0的两根是2，，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，∞）∴③√．
∵④中双曲线的焦点是（±6，0），椭圆的焦点（±4，0），∴④×．
故答案是③