Question

已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当时，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=
∴，化简，整理得
故P点的轨迹方程是，（x≠±）
（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由得，（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=，x1 x2=
|AB|=，
整理得，7k4-2k2-5=0，解得k2=1，或k2=-（舍）
∴k=±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0