Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且（0，）是椭圆M的一个焦点，又点A（1，）在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率是，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆方程，代入A的坐标，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设出直线BC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理计算弦长，求出点A到BC的距离，可得三角形的面积，利用基本不等式，即可求得最值．
【解析】
（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，），故设椭圆方程为．
将点A（1，）代入方程得，整理得a4-5a2+4=0，
解得a2=4或a2=1（舍）．
故所求椭圆方程为
（Ⅱ）设直线BC的方程为，设B（x1，y1），C（x2，y2）
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m2-16（m2-4）＞0，可得m2＜8①
由，
故|BC|==．
又点A到BC的距离为d=，
故S△ABC==≤，
当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号（满足①式）
所以△ABC面积的最大值为．