Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=2^x-1的图象上，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n-12（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n最小时，求n的值；
（3）求不等式T_n＜b_n的解集．

Answer

（1）把点（n，Sn）代入函数f（x）=2x-1得到数列的前n项和，然后由an=Sn-Sn-1求解n≥2使得数列通项，最后验证n=1时是否成立；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn=log2an-12，得到数列{bn}为等差数列，求出首项和公差，则其前n项和得到表示，利用二次函数求使其前n项和取最小值时的n值；
（3）直接把Tn和bn的代数式代入Tn＜bn化为一元二次不等式求解．
（1）依题意：Sn=2n-1（n∈N*），
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1．
当n=1，S1=a1=1，∴an=2n-1（n∈N*）；
（2）因为bn=log2an-12=n-13，
所以b1=-12，d=bn-bn-1=（n-13）-（n-1-13）=1．
所以数列{bn}是以-12为首项，以1为公差的等差数列．
∴Tn===（n-）2-．
故当n=12或13时，数列{bn}的前n项和最小；
（3）由Tn-bn=-（n-13）=
=＜0，
∴1＜n＜26，且n∈N*，
所以不等式的解集为{n|1＜n＜26，n∈N*}．