Question

如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC的面积为S．
（Ⅰ）求S与α之间的函数关系；
（Ⅱ）当角α取何值时S最大？并求S的最大值．

Answer

（Ⅰ）观察图形知，EF=2，∠EAB=∠FEH=α，可将EC用α表示出来，再由三角形的面积公式建立S与α之间的函数关系；
（Ⅱ）由（I）得S=2sinαcosα-2sin2α，其中，对函数的解析式进行化简，再求三角函数的最值即可得到S的最大值
【解析】
（Ⅰ）过点F作FH⊥MN，H为垂足
由三角知识可证明∠EAB=∠FEH=α，FH=BE…2 分
在Rt△ABE中，EB=AEsinα=2sinα，BC=AB=AEcosα=2cosα
所以EC=BC-EB=2cosα-2sinα…4 分
所以△FCE的面积
S==2sinαcosα-2sin2α，其中…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=2sinαcosα-2sin2α=…（9分）
由，得，
∴当，即时，…（11分）
因此，当时，△EFC的面积S最大，最大面积为． …12 分