Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）的图象与x轴交点为（-，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，]上至多有一个解，求正数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由图象最高点得A，由周期T=4×（+）=π，可求ω，由f（-）=0及-＜φ＜可得φ；
（Ⅱ）根据函数f（x）的周期可知方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，结合图象利用根的对称性可得所有实根之和；
（Ⅲ）根据图象变换得到g（x），作出|g（x）|的图象，结合图象利用伸缩变换可得图象应伸长的倍数，从而得到k的范围；
【解析】
（Ⅰ）从图知，函数的最大值为1，则A=1，
函数f（x）的周期为T=4×（+）=π，而T=，则ω=2，
又x=-时，y=0，所以sin（2×（-）+φ）=0，而-＜φ＜，则φ=，
所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）；
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+）的周期为π，
f（x）=sin（2x+）在[0，2π]内恰有2个周期，并且方程sin（2x+）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，
，，
故所有实数根之和为；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-）+1，
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤．