Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer

（1）由Sn=2an-2得：Sn-1=2an-1-2（n≥2），两式相减可得an=2an-1（n≥2），再求得a1=2，可知数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求an=2n；点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，可知bn+1-bn=2，又b1=1，从而可求得{bn}的通项公式；
（2））Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）×2n-1+（2n-1）×2n①，2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1②，错位相减即可求得Tn．
【解析】
（1）由Sn=2an-2得：Sn-1=2an-1-2（n≥2），
两式相减得：an=2an-2an-1，即=2（n≥2），
又a1=2a1-2，
∴a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n．
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2，
∴数列{bn}是等差数列，
∵b1=1，
∴bn=2n-1；
（2）Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）×2n-1+（2n-1）×2n①
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1②
①-②得：-Tn=1×2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1
=2+2×-（2n-1）×2n+1
=2+2×2n+1-8-（2n-1）×2n+1
=（3-2n）2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）2n+1+6．