Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
（1）求通项a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=，是否存在非零实数c，使得{b_n}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据等差数列的性质，得出a3、a4是方程x2-22x+117=0的解，解此方程得a3=9且a4=13，再求出{an}的首项和公差，即可得到数列{an}的通项公式；
（2）由（1）的结论，化简得bn=．分别令n=1、2、3，得到{bn}的前3项，由2b2=b1+b3解出c=-，再将c=-回代加以检验，即可得到当c=-时，{bn}成以2为首项、公差为2的等差数列．
【解析】
（1）由等差数列的性质，得a3+a4=a2+a5=22，
又∵a3•a4=117，∴a3、a4是方程x2-22x+117=0的解，
结合公差大于零，解得a3=9，a4=13，
∴公差d=a4-a3=13-9=4，首项a1=a3-2d=1．
因此，数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（2）由（1）知：Sn==2n2-n，
所以bn==．
故b1=，b2=，b3=．
令2b2=b1+b3，即=+，化简得2c2+c=0．
因为c≠0，故c=-，此时bn==2n．
当n≥2时，bn-bn-1=2n-2（n-1）=2，符合等差数列的定义
∴c=-时，bn=2n．（n∈N+）
由此可得，当c=-时，{bn}成以2为首项、公差为2的等差数列．