Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是B₁B、AB、BC的中点．
（1）证明：D₁F⊥平面AEG；
（2）求，．

Answer

（1）如图以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，求出D1F与EG1的方向向量，根据向量的数量积为0，两个向量垂直得到D1F⊥EG，D1F⊥AE．结合线面垂直的判定定理可得D1F⊥平面AEG．
（2）由 由=（0，a，），=（a，a，-a），代入向量夹角公式可得cos＜，＞．
【解析】
以D为原点，DA、DC、DA1所在的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，设正方体AC1棱长为a，则D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），D1（0，0，a），E（a，a，），
F（a，，0），G（，a，0）．
（1）=（0，a，），∴=a×0+×a-a×=0
∴D1F⊥AE，
同理D1F⊥EG
∵EG∩AE=E，∴D1F⊥平面AEG．
（2）由=（0，a，），=（a，a，-a）
∴cos＜，＞==．