Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB=1，BC=2，PA=2，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：CD⊥EF
（3）求EF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，确定与共面，即可证明EF∥平面PAD；
（2）证明=0，即可得到结论；
（3）利用向量的夹角公式，计算＜＞=45°，从而可求EF与平面ABCD所成的角的大小．
（1）证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E（，0，0），F（，1，1）
∴
∴
∴与共面
∵E∉平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）证明：∵
∴=（-1，0，0）•（0，1，1）=0
∴CD⊥EF；
（3）【解析】
∵
∴cos＜＞===
∴＜＞=45°
∵⊥平面AC
∴是平面AC的法向量
∴EF与平面AC所成的角为90°-＜＞=45°．