Question

已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；
（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性．

Answer

（1）利用三角函数中的恒等变换应用将f（x）转化为f（x）=sin（2x-）+1，即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质可求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；
（3）由2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z）可求其单调递增区间，由2kπ+≤2x-≤2kπ+（k∈Z）可求f（x）的单调递减区间．
【解析】
（1）∵f（x）=+sin2x+=sin（2x-）+1，
∴f（x）的最小正周期T==π；
（2）当2x-=2kπ+（k∈Z），
即x∈{x|x=kπ+，k∈Z}时，f（x）max=2；
当2x-=2kπ-（k∈Z），
即x∈{x|x=kπ-，k∈Z}时，f（x）min=0；
（3）当2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z），
即kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），时，f（x）单调递增．
当2kπ+≤2x-≤2kπ+（k∈Z），
即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．