Question

已知二次函数f（x）=x²-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），，我们把所有满足b_i•b_i+1＜0的正整数i的个数叫做数列{b_n}的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：
①m=0；
②m=4；
③数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5；
④数列{b_n}的异号数为2；
⑤数列{b_n}的异号数为3．
其中正确命题的序号为    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得出△=（-m）2-4m=0 解得m=0或m=4．结合在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，排除m=0．利用数列中an与 Sn关系求出an，判断出③的正误．继而根据an，求出bn，通过解不等式bi•bi+1＜0得出i的取值．
【解析】
若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
根据二次函数的性质，应有△=（-m）2-4m=0 解得m=0或m=4．
当m=0时，f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），故①错误
当m=4时，f（x）=x2-4x+4=（x-2）2，取0＜x1=1＜x2=2，
使得不等式f（x1）＞f（x2），故m=4，故②正确．
由上Sn=f（n）=（n-2）2，当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5．
∴an=．故③错误
当n=1时，b1=1-4=-3＜0，
而b2=1-=5＞0，b1b2＜0，所以i可以为1．
n≥2时，bn•bn+1=（1-）（1-）=＜0．
解得n=2，4．即i=2、4
即数列{bn}的异号数为3．故④错误，⑤正确
故答案为：②⑤