Question

设不等式x-x²≥0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若a，b∈M，试比较a³+b³与a²b+ab²的大小．
（3）当x∈M，不等式2m-1＜x（m²-1）恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）求出不等式x-x2≥0的解集确定出集合M，
（2 ）将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．
（3）当x∈M，不等式2m-1＜x（m2-1）恒成立，转化为f（x）=x（m2-1）-（2m-1）＞0恒成立，由于x∈[0，1]，故等价于，解之即可得m的取值范围．
【解析】
（1）原不等式即为x（1-x）≥0，所以0≤x≤1（4分）
所以不等式的解集M=[0，1]（6分）
（2）a3+b3-（a2b+ab2）=a2（a-b）+b2（b-a）=（a2-b2）（a-b）=（a-b）2（a+b），
由（1）知a，b为正数，
∴（a-b）2≥0，a+b＞0，∴（a-b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2．
（3）当x∈M，不等式2m-1＜x（m2-1）恒成立，转化为f（x）=x（m2-1）-（2m-1）＞0恒成立，
当x∈[0，1]时，等价于即，⇔m＜0．
可得m的取值范围是（-∞，0）．