Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

Answer

（1）根据Sn=2n-an，利用递推公式，分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，
（2）由（1）猜想（n∈N*）．利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而构造等比数列{an-2}中求出an．
【解析】
（1）因为Sn=2n-an，Sn=a1+a2+…+an，n∈N*（1分）
所以，当n=1时，有a1=2-a1，解得；               （2分）
当n=2时，有a1+a2=2×2-a2，解得；            （3分）
当n=3时，有a1+a2+a3=2×3-a3，解得；        （4分）
当n=4时，有a1+a2+a3+a4=2×4-a4，解得．（5分）
（2）猜想（n∈N*）                                （9分）
由Sn=2n-an（n∈N*），得Sn-1=2（n-1）-an-1（n≥2），（10分）
两式相减，得an=2-an+an-1，即（n≥2）．（11分）
两边减2，得，（12分）
所以{an-2}是以-1为首项，为公比的等比数列，
故，（13分）
即（n∈N*）．（14分）