Question

已知，其中e是无理数，a∈R．
（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是-1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点代入已知函数，比较函数值的大小，从而解出单调区间；
（2）构造函数h（x）=g（x）+，对其求导，求出h（x）的最小值大于0，就可以了．
（3）存在性问题，先假设存在，看是否能解出a值．
【解析】
（1）∵当a=1时，，∴，（1分）
∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减
当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）
∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；
f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）
令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）
∴，
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）
（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值-1，
∴，（9分）
①当a≤0时，
∵0＜x≤e，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）
②当0＜a＜e时，
若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，
若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，，得，满足条件．（12分）
3当a≥e4时，∵0＜x＜e，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）
综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是-1．（14分）
（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是-1，
故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．
即不等式a≥-x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．
设g（x）=-x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）
又（11分）
令
当，g'（x）＞0，则g（x）在单调递增；
当，g'（x）＜0，则g（x）在单调递减，（13分）
故当时，g（x）取得最大值，其值是
故．
综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是-1．（14分）