Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25-c²，则△ABC的面积最大值为    ．

Answer

根据余弦定理结合C=60°，算出c2=a2+b2-ab，结合题中的等式得a2+b2-ab=25-3ab，整理得（a+b）2=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=时ab的最大值为，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．
【解析】
∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab
又∵3ab=25-c2，得c2=25-3ab
∴a2+b2-ab=25-3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5
∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=
∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为
故答案为：