Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），（n∈N^*）．
（1）当t=2时，求证：是等差数列；
（2）若t＞0，试比较a_n+1与a_n的大小；
（3）在（2）的条件下，已知函数f（x）=（x＞0），是否存在正整数t，使得对一切n∈N^*不等式f（a_n+1）＜f（a_n）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用数列递推式，化简，可得-=，从而是以为公差的等差数列；
（2）先确定数列的通项，再利用作差比较法，即可得到结论；
（3）对一切n∈N*不等式f（an+1）＜f（an）恒成立，可转化为an+1an-4＞0，{an}为递增数列，只需a1a2-4＞0，由此可得结论．
（1）证明：当t=2时，
∴
∴=
∴-=
∴是以为公差的等差数列；
（2）【解析】
∵=
∴==
令=bn，则bn+1=，b1==2
∴，
∴=
∴
∴an=
∴an+1-an==[n（1+t+…+tn）-（n+1）（1+t+…+tn-1）]
=[（tn-1）+…+（tn-tn-1）]=[（1+t+…+tn-1）+t（1+t+…+tn-2）+…+tn-1]
显然t＞0（t≠1）时，an+1-an＞0，∴an+1＞an；
（3）【解析】
∵f（an+1）-f（an）=-=＜0，an+1＞an
∴an+1an-4＞0，{an}为递增数列
∴只需a1a2-4＞0
∴（2t-3）（t2-2）-4＞0
令f（t）=（2t-3）（t2-2）-4，则f′（t）=6t2-6t-8
∴t＞2时，f′（t）＞0，函数为增函数
∵f（2）=-2＜0，f（3）=17＞0
∴满足题意的最小正整数t存在，最小值为3．