Question

设A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}，C={x|x²+2x-8=0}
（1）A∩B=A∪B，求a的值；
（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；
（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．

Answer

先通过解二次方程化简集合B，C．
（1）根据A∩B=A∪B⇒A=B，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出a的值．
（2）根据∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，⇒3∈A，将3代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意．
（3）由A∩B=A∩C≠∅，⇒2∈A，将2代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意．
【解析】
（1）∵B={x|x2-5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．
∴2和3是方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．
（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A
∴9-3a+a2-19=0，解得a=-2，或a=5．
当a=-2时，A={3，-5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=-2
（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4-2a+a2-19=0解得a=-3，a=5．
当a=-3时，A={2，-5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=-3．
故答案为：5，-2，-3．