Question

已知直线l₁：ax-y+1=0与l₂：x+ay+1=0，给出如下结论：
①不论a为何值时，l₁与l₂都互相垂直；
②当a变化时，l₁与l₂分别经过定点A（0，1）和B（-1，0）；
③不论a为何值时，l₁与l₂都关于直线x+y=0对称；
④当a变化时，l₁与l₂的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．
其中正确的结论有（ ）
A．①③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④

Answer

①l1与l2垂直时，利用两直线垂直的充要条件可判断；
②对于直线l1与l2分别令x=0，y=0，即可知直线恒过定点；
③在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（-ax-1，-x），代入l2：x+ay+1=0的左边，可得不为0，故可判断；
④联立方程，消去参数，由方程可确定l1与l2的交点轨迹．
【解析】
①a×1-1×a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；
②直线l1：ax-y+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点A（0，1）；
l2：x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=-1恒成立，所以l2经过定点B（-1，0），故②正确
③在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（-ax-1，-x），
代入l2：x+ay+1=0的左边，显然不为0，故③不正确；
④联立直线l1：ax-y+1=0与l2：x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2-y=0（x≠0，y≠0），
∴当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．
故选：B．