Question

在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则t的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

Answer

根据题意画出相应的图形，要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，方法为：由AB与AC的关系，用AB表示出AC，由E、F分别为AC、AB的中点，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE2，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE与CF的平方比，开方并分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，观察表示出的比值发现当cosA的值最小时，比值最大，故当A趋于π时，cosA趋于-1，此时比值最大，求出此时的最大值，即可得到t的取值范围．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=AC，AF=AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（AB）2-2AB•AB•cosA=AB2-AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（AB）2+（AB）2-2•AB•AB•cosA=AB2-AB2cosA，
∴==，
∴==，
∵当cosA取最小值时，比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时达到最大值，最大值为=，
则恒成立，t的最小值为．
故选B