Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及y取最大值时x的值．

Answer

由f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，可得y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，且即1≤x≤3，则t∈[0，1]，令t=log3x，则t∈[0，1]，从而有y=t2+6t+6=（t+3）2-3，结合二次函数的性质可求函数的最大值及取得最大值的x
【解析】
∵f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）
=（log3x）2+6log3x+6，令t=log3x
由题意可得即1≤x≤3，则t∈[0，1]
∴y=t2+6t+6=（t+3）2-3在[0，1]上单调递增
当t=1即x=3时，函数有最大值，ymax=13