Question

已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1    
①求证：无论a为何值时直线总经过第一象限； 
②为使这直线不过第二象限，求a的范围．

Answer

①将方程整理为a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，对任意实数a恒过直线3x-y=0 与x-2y+1=0 的交点，解方程组求得交点的坐标．
②a=2时，直线x= 不过第二象限．当a≠2时直线方程化为：y=，此直线不过第二象限的充要条件为 ，由此解得a的范围．综合求得a的范围．
【解析】
①应用过定点的直线系方程，将方程整理为a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
对任意实数a恒过直线3x-y=0 与x-2y+1=0 的交点为（，），
∴直线系恒过第一象限内的定点为（，）．
②a=2时直线x= 不过第二象限，当a≠2时直线方程化为：y=，
此直线不过第二象限的充要条件为 ，解得a＞2．
总上：a≥2时，直线不过第二象限．