Question

在对数函数y=logx的图象上（如图），有A、B、C三点，它们的横坐标依次为t、t+2、t+4，其中t≥1，
（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；
（2）判断函数S=f（t）的单调性；
（3）求S=f（t）的最大值．

Answer

根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），
对于（1）由图形得SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF-S梯形ACNE，根据面积公式代入相关数据即可得到三角形面积的表达式
（2）根据（1）中所求的表达式研究函数的单调性并进行证明即可
（3）由（2）所求的单调性求出三角形面积的最大值．
【解析】
（1）A、B、C三点坐标分别为（t，logt），（t+2，log（t+2）），（t+4，log（t+4）），由图形，当妨令三点A，B，C在x轴上的垂足为E，F，N，则△ABC的面积为
SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF-S梯形ACNE
=-[logt+log（t+2）]+[log（t+2）+log（t+4））]+2[logt-log（t+4））]
=logt+log（t+4）-2log（t+2）]==
即△ABC的面积为S=f（t）=  （t≥1）

（2）f（t）=  （t≥1）是复合函数，其外层是一个递增的函数，t≥1时，内层是一个递减的函数，故复合函数是一个减函数，
（3）由（2）的结论知，函数在t=1时取到最大值，故三角形面积的最大值是
S=f（1）==