Question

在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生产100台报警系统装置．生产x台的收入函数为R（x）=3000x-20x²（单位元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位元），利润等于收入与成本之差．
①求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；
②求出的利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数Mp（x）最大值的实际意义．

Answer

①由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得边际函数．
②由二次函数法研究p（x）的最大值，由一次函数法研究Mp（x），对照结果即可．
③Mp（x）最大值意义在于它显示出了，利润的最大增量．当从生产0件产品到生产1件产品的过程中利润增量由0变到2480，
Mp（x）是相对简单函数，能够很明了的标示利润与产量的关系．
【解析】
①根据题意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
②∵p（x）=-20x2+2500x-4000
=-20（x-62.5）2+74125
∴当x=62，63时
函数最大值为：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴当x=0时
函数最大值为：2480
P （x）与Mp（x）不具有相等的最大值，所以不一样
③∵Mp（x）=-30x2+60x+3275=-30（x-1）2+3305，所以，当x≥1时，Mp（x）单调递减，x的取值范围为[1，19]，且x∈N*  
Mp（x）是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．